2020年度
問題１（１）
𝑥 歳の被保険者数が次のとおり表される定常人口に達した年金制度において、新規加入者は 𝑎 歳のみで加入するものとし、脱退時平均年齢は42歳とする。
$$ 𝑙_𝑥 = 3𝑎−𝑥 \, (𝑎≤𝑥≤3𝑎)$$
あるときから新規加入者数が定常人口に達したときの新規加入者数の 𝑏 (0<𝑏<1) 倍になったとする。新規加入者数が減少し始めてから 𝑎 年後の平均年齢が、新規加入者数が減少し始める前の平均年齢より5歳上昇したとき、𝑏として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
ポイント解説
以下の用語を正しく理解していると解ける問題です。
- 定常人口（年金数理のテキスト13頁を参照）
- 脱退時平均年齢（年金数理のテキスト 第１章練習問題５を参照）
- 平均年齢（年金数理のテキスト 第１章練習問題５を参照）
まず、直感的にわかりやすい「平均年齢」を考えてみます。例えば、以下のようなシンプルなケースで考えてみると…
| 年齢 | 人数 |
| 20歳 | 5人 |
| 30歳 | 5人 |
この場合の平均年齢は25歳です。これは、以下の計算に基づいて算出されます。
$$ 平均年齢 = \frac{20歳\times 5人 + 30歳 \times 5人}{5人+5人} $$
すなわち、年齢の合計を人数の合計で割ったものが平均年齢です。この問題の場合、生存数を表す関数は連続関数なので、離散的に合計するのではなく積分を用いて合計します。したがって、定常人口での平均年齢は、
$$ 平均年齢 = \frac{ \int_a^{3a} x l_x dx}{\int_a^{3a} l_x dx} $$
これを計算すると、
$$ 平均年齢 = \frac{5}{3}a $$
次に、脱退時平均年齢を考えてみます。平均年齢と同様に、シンプルなケースで考えてみると…
| 脱退時年齢 | 脱退者の人数 |
| 30歳 | 5人 |
| 40歳 | 5人 |
この場合の脱退時平均年齢は35歳です。平均年齢と同様の考え方ですね。
この年金制度の加入年齢を20歳とした上で、全員20歳で加入した場合を想定すると、
| 脱退時年齢 | 脱退時加入年数 | 脱退者の人数 |
| 30歳 | 10年 | 5人 |
| 40歳 | 20年 | 5人 |
加入年数を用いて脱退時平均年齢を計算することもできます。
$$ 脱退時平均年齢 = 20歳 + \frac{10年 \times 5人 + 20年 \times 5人 }{5人 + 5人} $$
この第2項は離散的に合計していますが、年金数理のテキスト16頁のように積分を用いると、これは20歳の加入者に対する脱退時平均加入年数（生保数理の用語では平均余命）となります。平均余命に置き換えると、生保数理で登場する平均余命に関連する公式が使えるので便利です。
以上の考え方を本問に適用すると、
$$ 脱退時平均年齢 = a + \frac{\int_a^{3a} l_x dx}{l_a} $$
問題文で脱退時平均年齢は42歳と与えられているので、これを解くと、
$$ a = 21 $$
となります。この値を使うと、定常人口における平均年齢は35歳であることがわかります。
長くなりましたが、あと一歩です。
計算した a を用いると、新規加入者が減少し始めてから21年後の平均年齢が40歳ということになります。 平均年齢は、年齢の合計を人数の合計で割ったものであることを思い出すと、この場合の平均年齢は、
$$ 平均年齢 = \frac{ b \int_a ^{2a} x l_x dx + \int_{2a}^{3a} x l_x dx }{b \int_a ^{2a} l_x dx + \int_{2a}^{3a} l_x dx } $$
ここで、分母・分子ともに第1項は新規加入者の減少を考慮するために一律 b 倍しています。この平均年齢が40歳なので b について解くと、
$$ b = 0.31$$
となります。年金数理のテキスト第1章の練習問題５に似ているので、確実に点数を稼ぎたい問題です。
問題１（２）
𝐴, 𝐵 ,𝐶 を脱退事由とする三重脱退残存表がある。各脱退はそれぞれ独立にかつ1年を通じて一様に発生する。また三重脱退残存表から得られる 𝑥 歳の在職中の被保険者の脱退事由 𝐴, 𝐵, 𝐶 による予定脱退率をそれぞれ \(𝑞_𝑥^𝐴,𝑞_𝑥^𝐵,𝑞_𝑥^𝐶\) とする。一方、脱退事由が 𝐴, 𝐵, 𝐶 それぞれ単独の場合の、各々単独の脱退残存表から得られる𝑥歳の在職中の被保険者の予定脱退率をそれぞれ \(𝑞_𝑥^{𝐴∗},𝑞_𝑥^{𝐵∗},𝑞_𝑥^{𝐶∗}\) とする。 このとき、 \(𝑞_𝑥^{𝐴∗}+𝑞_𝑥^{𝐵∗}+𝑞_𝑥^{𝐶∗}−(𝑞_𝑥^𝐴+𝑞_𝑥^𝐵+𝑞_𝑥^𝐶)\) を表す算式として最も適当なものを選択肢の中から１つ選びなさい。
ポイント解説
脱退残存表に関する問題です。年金数理のテキストには脱退残存表に関する説明は多くありません。テキスト18頁を見ると、二重脱退残存表の場合、
$$ q_x = \frac{d_x^{(d)}}{l_x^{(T)} - \frac{1}{2} d_x^{(w)}} $$
これを、生存脱退率と死亡脱退率で書くと、
$$ q_x = \frac{q_x^{(d)}}{1 - \frac{1}{2} q_x^{(w)}} $$
したがって、
$$ q_x^{(d)} = q_x (1 - \frac{1}{2} q_x^{(w)}) $$
となります。でも、テキストには三重脱退残存表の記載はありません。そんな時は、生保数理のテキスト（二見）を参照しましょう。第3章の脱退残存表の（3.2.7）に絶対脱退率の公式が載っています。
$$ q_x^A = q_x^{A*} \{ 1 - \frac{1}{2} ( q_x^{B*} + q_x^{C*} ) + \frac{1}{3} q_x^{B*} q_x^{C*} \}$$
この式が成り立つためには、以下の条件が必要です。
- A脱退、B脱退、C脱退はそれぞれ独立に発生する。
- 脱退の発生は一年を通じて一様に起こる。
これは問題文に与えられているので、この問題に上式を使ってもOKということになります。
上式を少し書き換えると、
$$ q_x^{A*} - q_x^A = \frac{1}{2} q_x^{A*} ( q_x^{B*} + q_x^{C*} ) - \frac{1}{3} q_x^{A*} q_x^{B*} q_x^{C*} $$
同様に、
$$ q_x^{B*} - q_x^B = \frac{1}{2} q_x^{B*} ( q_x^{A*} + q_x^{C*} ) - \frac{1}{3} q_x^{A*} q_x^{B*} q_x^{C*} $$
$$ q_x^{C*} - q_x^C = \frac{1}{2} q_x^{C*} ( q_x^{A*} + q_x^{B*} ) - \frac{1}{3} q_x^{A*} q_x^{B*} q_x^{C*} $$
この３つの式の左辺と右辺を合計すると、
$$ 𝑞_𝑥^{𝐴∗}+𝑞_𝑥^{𝐵∗}+𝑞_𝑥^{𝐶∗}−(𝑞_𝑥^𝐴+𝑞_𝑥^𝐵+𝑞_𝑥^𝐶) = q_x^{A*} q_x^{B*} + q_x^{B*} q_x^{C*} + q_x^{C*} q_x^{A*} - q_x^{A*} q_x^{B*} q_x^{C*} $$
ちなみに、脱退残存表にはいくつか近似式が登場します。どの式が近似式で、どの式が近似式でないのかも抑えて数式を扱う癖を身につけましょう。
2019年度
問題１（１）
ある年金制度は定常人口にあり、毎年度初に18歳で 𝑎 人、22歳で 2𝑎 人の新規加入がある。年金制度からの脱退は中途退職（加入中の死亡を含む）と定年退職の2種類があり、いずれも年１回期末に発生する。定年年齢は60歳であり、期初に59歳の被保険者はその年度中に中途退職もしくは定年退職により全員脱退する。中途退職による脱退率が全年齢で0.01であるとき、この年金制度の期初時点の平均年齢の値として最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、平均年齢の算定は期初の新規加入の直後に行うものとする。また、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜諸数値＞
$$0.99^{38} = 0.68255、0.99^{42}= 0.65566 $$
ポイント解説
平均年齢を求める問題です。年齢の合計を人数の合計で割ると平均年齢の計算ができることを思い出しましょう。
分母と分子を計算する前に、問題文をよく見ると「毎年度初に加入」「年1回期末に退職」とあり、本問題の人員分布は離散的であることがわかります。離散的な分布と連続的な分布の違いはストラテジー本の4.2で復習しましょう。同書の言葉を借りると、これは「期初ごと加入モデル」の問題となります。
- 一様加入モデル：新規加入が時間の経過に沿って常に一様に生じ、（期初で見ると）年齢は連続的に分布しているモデル
- 期初ごと加入モデル：新規加入が期初ごとにまとめて生じ、（期初で見ると）端数のない年齢の人のみが存在するモデル（つまり年齢は離散的に分布）
「平均年齢の算定は期初の新規加入の直後に行う」とあるので、新規加入直後の各年齢の人数を計算すればよいことがわかります。まず、18歳の人数は、
$$ l_{18} = a $$
次に、19歳の人数は、 「脱退率が全年齢で0.01」とあるので、
$$ l_{19} = a \times 0.99 $$
同様に考えると、22歳の新規加入があるまでの年齢においては、
$$ l_{x} = a \times 0.99^{x-18} \, (18 \leq x \leq 21) $$
22歳で 2𝑎 人の新規加入があるので、
$$ l_{22} = a \times 0.99^{4} + 2a $$
23歳の人数は、
$$ l_{23} = a \times 0.99^{5} + 2a \times 0.99$$
同様に考えると、
$$ l_{x} = a \times 0.99^{x-18} +2a \times 0.99^{x-22} \, (22 \leq x \leq 59) $$
人員分布を表す離散的な関数が求まったので、平均年齢は、
$$ 平均年齢 = \frac{\sum_{x=18}^{59} x l_x }{ \sum_{x=18}^{59} l_x } $$
を計算すればよさそうですね。これを計算すると、平均年齢は38.5歳であることがわかります。
2018年度
問題１（１）
生存脱退と死亡脱退を脱退事由とする二重脱退残存表を考える。二重脱退残存表における記号を次のように定義する。
$$ d_x^{(d)}：死亡脱退数、q_x^{(w)}：生存脱退率、q_x^{(d)}：死亡脱退率$$
このとき、 \(q_x^{(w)} \)は常に0.05、 \(q_{60}^{(d)} \) は0.005、\( x \geq 60\)に対して \(d_x^{(d)} \) が一定になるとき、この二重脱退残存表の最終年齢（残存者数が初めてゼロとなる年齢）に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。なお、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜諸数値＞
$$ \log_{10} 1.1 = 0.04139, \, \log_{10} 5 = 0.69897, \, \log_{10} 9.5 = 0.97772, \, \log_{10} 9.95 = 0.99782 $$
ポイント解説
最終年齢とは、\( l_x =0\) を初めて満たす x のこと。したがって、 \( l_x \) を求めればよさそうですね。
二重脱退の場合、
$$ l_{x+1} = l_x - d_x^{(w)} - d_x^{(d)} $$
ここで、問題文より、
$$ d_x^{(w)} = l_x \times q_x^{(w)} = 0.05l_x $$
$$ d_{60}^{(d)} = l_{60} \times q_x^{(d)} = 0.005l_{60} $$
$$ d_{x}^{(d)} = d_{60}^{(d)} = 0.005l_{60} \, (x \geq 60)$$
61歳の人数から順番に考えてみます。
$$ l_{61} = l_{60} - d_{60}^{(w)} - d_{60}^{(d)} = l_{60} - 0.05l_{60} - 0.005 l_{60} = 0.95 l_{60} - 0.005 l_{60} $$
$$ l_{62} = l_{61} - d_{61}^{(w)} - d_{61}^{(d)} = l_{61} - 0.05l_{61} - 0.005 l_{60} = 0.95 l_{61} - 0.005 l_{60} $$
$$ l_{63} = l_{62} - d_{62}^{(w)} - d_{62}^{(d)} = l_{62} - 0.05l_{62} - 0.005 l_{60} = 0.95 l_{62} - 0.005 l_{60} $$
なので、最終年齢を \(60+m \) 歳とすると、
$$ l_{60+m} = 0.95 l_{60+m-1} - 0.005 l_{60} $$
ここから順番に右辺の年齢を１歳ずつ引き下げてみます。
$$ l_{60+m} = 0.95 (0.95l_{60+m-2} - 0.005 l_{60} ) - 0.005 l_{60} = 0.95^2 l_{60+m-2} - 0.005l_{60} (1+0.95) $$
$$ l_{60+m} = 0.95^2 (0.95 l_{60+m-3} - 0.005 l_{60}) - 0.005l_{60} (1+0.95) $$
$$= 0.95^3 l_{60+m-3} - 0.005l_{60} (1+0.95 + 0.95^2) $$
ここまで行くと、右辺の関係性が見えてきた感じでしょうか。右辺の年齢を60歳まで引き下げると、
$$l_{60+m} = 0.95^m l_{60} - 0.005l_{60} (1+0.95 + 0.95^2 + ... + 0.95^{m-1}) $$
この手の式変形は、次数と添え字の和が同一という部分に着目するとうまく式変形できると思います。
最終年齢では、
$$ l_{60+m} =0 $$
なので、これを m について解くと、
$$ m = 46.741 $$
となります。最終年齢はこれに60を足したものなので、106.741歳となります。
問題１（２）
人員構成の異なる年金制度 A および年金制度 B はそれぞれ定常人口に達しており、期初に x 歳である被保険者の中途退職による脱退率（加入中の死亡を含む）はそれぞれ次のとおりである。
$$ 年金制度A：q_x^A = \frac{1}{80-x} \, (x=20,21,...,59) $$
$$年金制度B： q_x^B = \frac{1}{120-x} \, (x=20,21,...,59) $$
年金制度 A の被保険者数が年金制度 B の被保険者数の 2 倍である場合、「年金制度 A の新規加入者数 ÷ 年金制度 B の新規加入者数」の値として最も近いものを選択肢の中から1つ選びなさい。なお、計算の前提を次のとおりとする。
＜計算の前提＞
・年金制度 A および年金制度 B ともに加入年齢は20歳、定年年齢は60歳
・新規加入は期初に発生し、被保険者数の測定時期は期初の新規加入の直後とする
・定年退職による脱退は年1回期末、中途退職による脱退は年1回期央に発生する
・期初に59歳の被保険者は、期央の中途退職と期末の定年年齢到達により脱退する
ポイント解説
年金制度 A の x 歳の被保険者数を \(l_x^A\) とすると、
- （期初に発生した）新規加入者数は \(l_{20}^A\)
- 21歳の被保険者数は、新規加入者の内、20歳の期央で退職しなかった人なので、\(l_{20}^A \times \frac{59}{60}\)
- 22歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21歳の期央で退職しなかった人なので、\(l_{20}^A \times \frac{59}{60} \times \frac{58}{59} = l_{20}^A \times \frac{58}{60} \)
- ...
- 59歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21, ... , 58歳の期央で退職しなかった人なので、\(l_{20}^A \times \frac{59}{60} \times \frac{58}{59} ... \times \frac{21}{22} = l_{20}^A \times \frac{21}{60} \)
これを合計すると、年金制度Aの被保険者数となるので、
$$ l_x^A = \frac{l_{20}^A \times 1620}{60} $$
同様に、年金制度 B の x 歳の被保険者数を \(l_x^B\) とすると、
- （期初に発生した）新規加入者数は \(l_{20}^B\)
- 21歳の被保険者数は、新規加入者の内、20歳の期央で退職しなかった人なので、\(l_{20}^B \times \frac{99}{100}\)
- 22歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21歳の期央で退職しなかった人なので、\(l_{20}^B \times \frac{99}{100} \times \frac{98}{99} = l_{20}^A \times \frac{98}{100} \)
- ...
- 59歳の被保険者数は、新規加入者の内、20, 21, ... , 58歳の期央で退職しなかった人なので、\(l_{20}^B \times \frac{99}{100} \times \frac{98}{99} ... \times \frac{61}{62} = l_{20}^A \times \frac{61}{100} \)
これを合計すると、年金制度Bの被保険者数となるので、
$$ l_x^B = \frac{l_{20}^B \times 3220}{100} $$
題意より、「年金制度 A の被保険者数が年金制度 B の被保険者数の 2 倍」なので、
$$ \frac{l_{20}^A \times 1620}{60} = 2 \times \frac{l_{20}^B \times 3220}{100} $$
したがって、 「年金制度 A の新規加入者数 ÷ 年金制度 B の新規加入者数」 は、
$$ \frac{l_{20}^A}{ l_{20}^B } = 2.385 $$
問題２（１）
① x 歳支給開始、年金額1を支給する連続払終身年金（年金制度Y）がある。利力 \( \delta = 0.02\) 、死力 \( \mu = 0.1 \) のとき、x 歳における年金現価を求めよ。なお、年金現価は小数点以下第３位を四捨五入して求めなさい。
② x 歳支給開始、年金額 \( \alpha \)を支給する連続払の \( \dot{e}_x \) 年確定年金があり、x 歳における年金現価が年金制度 Y の x 歳における年金現価（小数点以下第３位を四捨五入する前）と一致した。 \( \dot{e}_x \) は x 歳の平均余命であり、\(\delta\) と \( \mu \) は①と同じ値とするとき、\( \alpha \) を計算せよ。なお、 \( \alpha \) は小数点以下第４位を四捨五入して求めなさい。また、必要であれば次の諸数値を使用しなさい。
＜諸数値＞
$$ e^{-0.5} = 0.0067, \, e^{-2} = 0.1353, \, e^{-0.2} = 0.8187, $$
$$ e^{0.12} = 0.8869, \, e^{-0.08} = 0.9231, \, e^{-0.02} = 0.9802$$
ポイント解説
①連続払いの終身年金現価率は、
$$ \bar{a}_x = \int_0^{\infty} v^t \, _t p_x dt $$
ここで、死力が一定なので、
$$ _t p_x = e^{-\int_0^t \mu ds} = e^{- \mu t} $$
また、
$$ v = e^{- \delta} $$
したがって、
$$ \bar{a}_x = \int_0^{\infty} e^{- \delta t} \, e^{- \mu t} dt = \frac{1}{\delta + \mu} = 8.33$$
②最初に、平均余命を計算してみます。
$$ \dot{e}_x = \int_0^{\infty} \, _t p_x dt = \int_0^{\infty} \, e^{-\mu t} dt = \frac{1}{\mu} $$
x 歳支給開始、年金額 \( \alpha \)を支給する連続払の \( \dot{e}_x \) 年確定年金の年金現価は、
$$ \alpha \int_{0}^{\dot{e}_x} v^t dt = \frac{\alpha}{\delta} (1 - e^{-\frac{\delta}{\mu}}) $$
これが、①で求めた年金制度Yの年金現価と一致するので、
$$ \frac{\alpha}{\delta} (1 - e^{-\frac{\delta}{\mu}}) = \frac{1}{\delta + \mu}$$
これを \( \alpha \) について解くと、 \( \alpha = 0.919\) となります。
2017年度（平成29年度）
問題１（１）
定常人口に達している年金制度がある。この年金制度の加入年齢は20歳であり、x 歳の被保険者数 \(l_x\) は次のとおりとする。
$$ l_x = \left\{ \begin{array}{} 80-x & (20 \leq x < 40) \\ 60-\frac{x}{2} & (40 \leq x \leq 60) \end{array} \right. $$
ある時から20歳で加入する被保険者数が0.5倍になり、この時から10年後の平均年齢は a 歳となった。a の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
ポイント解説
平均年齢に関する問題です。 年齢の合計を人数の合計で割ったものが平均年齢でした。この問題の場合、生存数を表す関数は連続関数なので積分を用いて合計します。
まず、当初の平均年齢を考えると、
$$ \frac{\int_{20}^{40} x(80-x) dx + \int_{40}^{60} x( 60-\frac{x}{2} ) dx }{ \int_{20}^{40} (80-x) dx + \int_{40}^{60} ( 60-\frac{x}{2} ) dx } $$
20歳から40歳、40歳から60歳で被保険者数の関数が異なるので、分母・分子ともに積分区間を２つに分ける必要があります。
問題文で求められているのは、 「ある時から20歳で加入する被保険者数が0.5倍になり、この時から10年後の平均年齢」なので、
$$ \frac{\int_{20}^{30} 0.5 x(80-x) dx + \int_{30}^{40} x(80-x) dx + \int_{40}^{60} x( 60-\frac{x}{2} ) dx }{ \int_{20}^{30} 0.5(80-x) dx + \int_{30}^{40} (80-x) dx + \int_{40}^{60} ( 60-\frac{x}{2} ) dx } $$
この２式を比べると、分母・分子ともに20歳から30歳の積分区間の関数に0.5が乗じられている部分が異なります。 「ある時から20歳で加入する被保険者数が0.5倍になり、この時から10年後の平均年齢」 を計算するので、20歳から30歳の人数の合計（分母）と年齢の合計（分子）を0.5倍している、ということです。
この積分を計算すると、平均年齢は40.12歳となります。
問題２（５）
H29_2_5ポイント解説
キャッシュバランス制度に関する問題です。年金数理のテキストには記載がないものの、実務の世界では普及している年金制度です。問題の解説に入る前に、キャッシュバランス制度の特徴を列挙します。
- 確定給付型と確定拠出型の両方の特徴を持つハイブリッド型制度
- 給付額は元利合計で決まる（この元利合計を仮想個人勘定残高と呼ぶ）
- 元利合計を構成するのは、拠出付与額と利息付与額
- この利息付与額のもとになる利息は変動することがある
- 年金額＝仮想個人勘定残高÷年金現価率
- この年金現価率のもとになる利息（給付利率と呼ぶ）も変動することがある
この問題で関係するのは、最後の点です。
①「この制度の年金額は、給付利率が3.0%のとき10であり、60歳時点の仮想個人別勘定残高を給付利
率に応じた15年間の確定年金現価率で除して計算される」とあるので、
$$ 仮想個人勘定残高 = 10 \times 15年確定年金現価率（3.0％）$$
ここで、確定年金現価率は期初払いで計算します。（以下、同様）
題意より、第1年度から第10年度の給付利率は2.5%、第11年度から第15年度の給付利率は3.5％なので、年金額が第11年度から変わることとなります。
$$ 第1年度から第10年度の年金額: B_1 ＝ 仮想個人勘定残高 / 15年確定年金現価率（2.5％）$$
$$ 第11年度から第15年度の年金額: B_2 ＝ 仮想個人勘定残高 / 15年確定年金現価率（3.5％）$$
60歳時点の15年保証終身年金の現価は、
$$ B_1 \times 10年確定年金現価率+ B_2 \times(v^{10} \times 5年確定年金現価率+0.8 \times \frac{N_{75}}{D_{60}} )$$
ここで、確定年金現価率と計算基数で用いる利率は予定利率なので3.0%です。利率が複数登場するので、間違えやすいところ。落ち着いて、正しい数値を表からピックアップしましょう。
これを計算すると、年金現価は165となります。
②給付利率を3.5%に固定するので、年金額は\( B_2\) となります。「保証期間終了後の年金額が保証期間中の年金額のK 倍」となるので、①の現価を求める式の0.8がKになるということですね。すなわち、
$$ B_2 \times 10年確定年金現価率+ B_2 \times(v^{10} \times 5年確定年金現価率+K \times \frac{N_{75}}{D_{60}} )$$
ここで、第1項と第2項は統合できるので、
$$ B_2 \times (15年確定年金現価率+ K \times \frac{N_{75}}{D_{60}} )$$
予定利率を2.5%に変更しているので、この式で用いる利率は2.5%です。
この現価が①の現価（165）と等しいので、これをKについて解くと\( K = 0.56 \) となります。
2016年度（平成28年度）
問題１（１）
定常人口に達した年金制度があり、加入年齢は40歳、x 歳の被保険者数 \(l_x\) は次のとおりとする。この年金制度の被保険者の脱退時平均年齢が 57.0 歳であるとき、\(a (0 \leq a \leq 9) \)の値に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
$$ l_x = \left\{ \begin{array}{} 140-x & (40 \leq x < 50) \\ 90-a(x-50) & (50 \leq x \leq 60) \\ 0 & (x < 40, \, 60<x) \end{array} \right. $$
ポイント解説
脱退時平均年齢を計算する問題です。脱退時平均年齢は、新規加入年齢＋脱退時平均加入年数（生保数理で言うところの平均余命）で計算します。新規加入年齢は40歳なので、
$$ 脱退時平均年齢 = 40 + \int_0^{20} \frac{l_{40+t}}{l_{40}} dt $$
\( l_{40} = 100 \) であり、問題文で与えられた \( l_x \) の区間に注意しながら書き換えると、
$$ l_{40+t} = \left\{ \begin{array}{} 140-(40+t) & (0 \leq t < 10) \\ 90-a(40+t-50) & (10 \leq t \leq 20) \\ 0 & (t < 0, \, 20<t) \end{array} \right. $$
なので、
$$ 脱退時平均年齢 = 40 + \frac{\int_0^{10} (100-t) dt + \int_{10}^{20} (90-a(t-10)) dt}{100}$$
脱退時平均年齢は57.0歳と与えられているので、この積分を計算すると、
$$ a = 3 $$
問題２（１）
H28_2_1ポイント解説
①保証終身年金は、確定年金と据置終身年金の和として表現されます。
通常の連続払い確定年金の年金現価は、
$$\int_0^n v^t dt $$
ですが、この問題では年金額が \(20-t \) なので、
$$ 確定部分の年金現価＝\int_0^{n} (20 - t) v^t dt $$
次に、据置終身年金の部分の現価は、
$$ 据置終身部分の年金現価＝ v^{n} \, _{n} p_x \int_0^{\infty} v^t \, _t p_{x+n} dt $$
ここで、
$$ _{n} p_x = e^{-\int_0^n \mu_{x+t} dt } = e^{-\int_0^n 2 \delta dt } = e^{-2\delta n} = v^{2n}$$
$$ _{t} p_{x+n} = e^{-\int_0^t \mu_{x+n+s} ds } = e^{-\int_0^t 2 \delta ds } = e^{-2\delta t} = v^{2t} $$
今、\( n=20\), \( \delta = log(1+i) = log1.02 =0.01980 \) なので、20年保証終身年金の現価を計算すると181となります。
②「生存を条件に」という記載があるので、①と異なり生存確率を加味して年金現価を計算します。年金額が平均余命を用いて定義されているので、まず平均余命を計算すると、
$$ 平均余命 = \int_0^{\infty} \, _t p _x dt = \int_0^{\infty} \, v^{2t} dt = \frac{1}{2\delta} $$
したがって、
$$ 年金現価 = \int_0^{\infty} K \times \frac{1}{2\delta} \times v^t \, _t p_x dt $$
これが①の現価と一致するので、Kについて解くと、\( K=0.426 \) となります。
2015年度（平成27年度）
問題１（１）
定常人口に達している年金制度 A、B の被保険者数は等しく、脱退率（脱退には加入中の死亡を含む）はともに \(q_x=\frac{1}{60-x} \, (x<60) \) に従っている。年金制度 A、B の加入年齢がそれぞれ 20 歳、30 歳であり、年金制度 A の 30 歳の被保険者数 \( l_{30} = 2790 \) であるとき、年金制度 B の 30 歳の被保険者数に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
ポイント解説
「年金制度 A、B の被保険者数は等しく」という条件があるので、両制度の被保険者数を計算すればよさそうですね。年金制度Aの各年齢の人数を \( l_x^A \) とすると、
$$ l_{21} ^A = l_{20}^A \times ( 1-q_{20}) = l_{20}^A \times \frac{39}{40} $$
$$ l_{22} ^A = l_{21}^A \times ( 1-q_{21}) = l_{20} ^A \times \frac{39}{40} \times \frac{38}{39} = l_{20} ^A \times \frac{38}{40} $$
$$ ... $$
$$ l_{59} ^A = l_{20} ^A \times \frac{1}{40} $$
したがって、年金制度Aの被保険者数は、
$$ \sum_{x=20}^{59} l_x ^A = l_{20}^A \times \frac{40+39+...+1}{40} = l_{20}^A \times \frac{820}{40} $$
同様に、年金制度Bの各年齢の人数を \( l_x^B \) とすると、
$$ l_{31} ^B = l_{30}^B \times ( 1-q_{30}) = l_{30}^B \times \frac{29}{30} $$
$$ l_{32} ^B = l_{31}^B \times ( 1-q_{31}) = l_{30} ^B \times \frac{29}{30} \times \frac{28}{29} = l_{30} ^B \times \frac{28}{30} $$
$$ ... $$
$$ l_{59} ^B = l_{30} ^B \times \frac{1}{30} $$
したがって、年金制度Aの被保険者数は、
$$ \sum_{x=30}^{59} l_x ^B = l_{30}^B \times \frac{30+29+...+1}{30} = l_{30}^B \times \frac{465}{30} $$
今、 \( l_{30}^A = 2790 \) なので、
$$ l_{30} ^A = l_{20}^A \times \frac{30}{40} =2790 $$
となり、
$$ l_{20}^A = 3720 $$
年金制度 A、B の被保険者数は等しいので、
$$ l_{20}^A \times \frac{820}{40} = l_{30}^B \times \frac{465}{30} $$
したがって、
$$ l_{30}^B = 4920 $$
2014年度（平成26年度）
問題１（１）
年金 A および年金 B は次の連続払の年金であるとする。年金 A と年金 B の年金現価が等しいとき、K に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
年金A：当初５年間は年金年額２を、その後５年間は年金年額１を支払う10年確定年金
年金B：年金年額 K の10年確定年金
ただし、利力は \(\delta = 0.2 \) とし、必要があれば \( e=2.718 \)を使用すること。
ポイント解説
連続払いの確定年金現価率は、
$$ 連続払いの確定年金現価率 = \int_0^n v^t dt = \frac{1-v^n}{\delta} $$
年金Aは、５年確定年金（年金年額１）と10年確定年金（年金年額１）の合計とみなすことができるので、
$$ 年金Aの現価 = \frac{1-v^5}{\delta} + \frac{1-v^{10}}{\delta} = \frac{2-v^5-v^{10}}{\delta}$$
一方で、年金Bの現価は、
$$ 年金Bの現価 = K \frac{1-v^{10}}{\delta} $$
年金 A と年金 B の年金現価が等しいので、
$$ 2-v^5-v^{10} = K(1-v^{10}) $$
ここで、
$$ v = e^{-\delta} = e^{-0.2} $$
なので、Ｋは、
$$ K=1.731$$
問題１（２）
x 歳における静態的昇給率 \(R_x\)、動態的昇給率 \(R'_x\) がそれぞれ次のとおり定められている。
$$ R_x = \frac{(1+k)(x+1)f_{(x+1)}}{xf_{(x)}} -1 \, ただし、 f_{(x)} = \left\{ \begin{array}{} 25 & (20 \leq x < 35) \\ 35 & (35 \leq x \leq 60) \end{array} \right. $$
$$ R'_x = (1+R_x)(1+r) -1 $$
ただし、r はベース・アップ等の要因による昇給率とする。
いま、経済環境の変化によりベース・アップ等の要因による昇給率 r が変化し、\( r=k \) となった。この状況で、給与が95,000円である30歳の被保険者について38歳時点の給与を動態的昇給率に基づいて予測したところ242,400円であった。この場合、k に最も近いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
ポイント解説
x 歳の給与を \( B_x \) とします。動態的昇給率で \( B_{31} \) を予測すると、
$$ B_{31} = 95000 (1+ R'_{30}) = 95000 (1+R_{30}) (1+k) $$
となります。昇給率は例えば１％という数値なので、１を足して給与に乗じることで次の年齢の給与を予測できます。同様に、
$$ B_{32} = 95000 (1+R_{30}) (1+R_{31}) (1+k)^2 $$
$$ B_{33} = 95000 (1+R_{30}) (1+R_{31}) (1+R_{32}) (1+k)^3 $$
$$ ... $$
$$ B_{38} = 95000 (1+R_{30}) (1+R_{31}) (1+R_{32}) ... (1+R_{37}) (1+k)^8 $$
ここで、与えられた \( R_x \) を代入すると、
$$ B_{38} = 95000 \frac{(1+k)31f_{(31)}}{30f_{(30)}} \frac{(1+k)32f_{(32)}}{31f_{(31)}} \frac{(1+k)33f_{(33)}}{32f_{(32)}} ... \frac{(1+k)38f_{(38)}}{37f_{(37)}} (1+k)^8 $$
うまく分母分子が約分できそうですね。もう少し整理すると、
$$ B_{38} = 95000 \frac{f_{(31)}}{30f_{(30)}} \frac{f_{(32)}}{f_{(31)}} \frac{f_{(33)}}{f_{(32)}} \frac{f_{(34)}}{f_{(33)}} \frac{f_{(35)}}{f_{(34)}} \frac{f_{(36)}}{f_{(35)}} \frac{f_{(37)}}{f_{(36)}} \frac{38f_{(38)}}{f_{(37)}} (1+k)^{16} $$
ここで、\( f_{(x)} \) の区間に注意すると、
$$ B_{38} = 95000 \frac{38}{30} \frac{35}{25} (1+k)^{16} $$
これが、 242,400円 と与えられているので、k について解くと、
$$ k = 0.023 $$
年金数理のテキストの第１章の練習問題７に類似の問題があるので、あわせて解いてみましょう。
2013年度（平成25年度）
問題１（１）
x 歳の被保険者数 \( l_x \) が以下のとおり表される定常状態に達した年金制度があり、新規加入者は a
歳（a > 0 の整数）でのみ加入するものとする。被保険者の平均年齢を小数点以下第 3位で四捨五入
した結果が 37.78歳であるとき、この制度における 2a 歳以上の被保険者の脱退時平均年齢に最も近
いものを選択肢の中から１つ選びなさい。
$$ l_x = \left\{ \begin{array}{} 5a-x & (a \leq x < 3a) \\ 0 & (x < a, \, 3a<x) \end{array} \right. $$
ポイント解説
年金数理のテキスト第1章の練習問題５と同じ問題です。平均年齢と脱退時平均年齢を計算する典型的な問題なので、この問題は必ず解けるようにしましょう。
平均年齢は、年齢の合計を人数の合計で割って計算するので、
$$ 平均年齢 = \frac{ \int_a^{3a} x l_x dx}{\int_a^{3a} l_x dx} $$
題意より、これが 37.78歳 なので、\( a= 20\) となります。
次に、 2a 歳以上の被保険者の脱退時平均年齢は、2a＋脱退時平均加入年数（生保数理の用語では平均余命）なので、
$$ 脱退時平均年齢 = 2a + \frac{\int_{2a}^{3a} l_x dx}{l_{2a}} $$
これを計算すると57歳になります。
問題１（２）
H25_1_2ポイント解説
年金数理のテキスト第1章の練習問題９と同じ問題です。練習問題が過去問にそのまま出ていると考えるのは早計で、テキストが改訂されたのが平成27年3月であることを考えると、過去問が練習問題に反映されたと考えるのが自然ですね。
求めるべき死亡率は、生保数理で言うところの絶対死亡率です。企業年金の実務において、顧客である企業から脱退データを用いて脱退残存表を作成しています。在職中に死亡したデータは入手可能ですが、退職後に死亡したデータについて、企業は把握する術がありません。したがって、年金アクチュアリーもこのデータにアクセスすることはできません。「一様分布」の仮定の下、退職後の死亡も加味した絶対死亡率を推定する手法がテキスト18頁に記載の方法です。
表のわかる部分から順番に埋めていきましょう。
$$ d_{25}^{(w)} = 100000 \times 0.06226 = 6226 $$
$$ d_{25}^{(d)} = 100000 \times 0.00511 = 511 $$
25歳の生存脱退者数と死亡脱退者数がわかったので、26歳の残存数を計算することができます。
$$ l_{26}^{(T)} = 100000 - 6226 - 511 = 93263 $$
27歳の残存数と26歳の生存脱退数が与えられているので、
$$ d_{26}^{(d)} = 93263 - 5100 - 87411 = 752 $$
したがって、絶対死亡率は、
$$ q_x = \frac{d_{26}^{(d)}}{l_{26}^{(T)} - \frac{1}{2} d_{26}^{(w)}} = 0.00829 $$
問題１（３）
H25_1_3ポイント解説
保証終身年金の現価は、確定年金と据置終身年金の現価の和となりますが、65歳までの据置期間中にも死亡年金が支払われるので、計算すべき現価は３つです。
まず、確定年金部分から。
$$ \frac{D_{65}}{D_{45}} \times 20年確定年金現価率 $$
次に、据置終身年金は、
$$ \frac{N_{85}}{D_{45}} $$
最後に65歳までの死亡年金の現価は、
$$ \frac{M_{45} - M_{65}}{D_{45}} \times 20年確定年金現価率 $$
最後の式は、計算基数を用いて定期保険の現価を求める式を覚えていれば書ける式ですね。
以上の３式を計算すると、求める現価は9.5となります。
ちなみに、これもテキスト第2章の練習問題13と同じ問題です。
問題１（６）
死力 \( \mu_{x+t} = \frac{a}{1+at} \, (0 \leq t \leq 1) \) のとき、 a を \( p_x \)で表したものとして最も適切なものを 1 つ選びなさい。
ポイント解説
$$ p_x = e^{-\int_0^1 \mu_{x+t} dt} $$
これを知っていれば瞬殺できる問題ですね。所与の \( \mu_{x+t} \) を代入して計算すると、
$$ p_x = \frac{1}{1+a} $$
となり、
$$ a = \frac{1-p_x}{p_x} $$
問題１（10）
年金額を次のように支払う場合、（ｘ）が受け取る年金の現価を表している式として最も適切なものを選択肢の中から 1 つ選びなさい。
・(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)が３人とも生存している間は、１人当り毎年 100 の年金額を期末に受け取る。
・(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)のうち２人のみ生存している間は、1 人当り毎年 150 の年金額を期末に受け取る。
・(ｘ)、(ｙ)、(ｚ)のうち１人のみ生存している間は、１人当り毎年 300 の年金額を期末に受け取る。
ポイント解説
連生の問題はベン図を描くのがお勧めです。
これをアクチュアリー記号で書くと、
$$ 300 a_x - 150 (a_{xy} + a_{xz}) + 100 a_{xyz} $$
問題１（19）
H25_1_19-1ポイント解説
生保数理の完全年金（二見さんのテキスト第４章§13）に似たタイプの年金です。完全年金の場合、期中の死亡に対しては前期末から死亡までの端数期間に比例した額を支払う一方、この問題では、端数期間を月単位で考える点が異なります。
そんな範囲まで年金数理で出題されるとは…。でも、諦めたらそこで試験は終了です。持っている知識を駆使して、この問題を解いてみましょう。
年m回払いの終身年金の近似式、これは覚えるべき公式なので、これを使ってみます（年金数理のテキスト34頁参照）。
$$ a_x^{(m)} = \ddot{a}_x - \frac{m+1}{2m} $$
今、60歳支給開始年4回払いなので、
$$ a_{60}^{(4)} = \ddot{a}_{60} - \frac{5}{8} = \frac{N_{60}}{D_{60}} - \frac{5}{8} = 15.18054$$
現行の終身年金は、これに端数月の死亡給付を足したものですが、これは端数月の給付で小さい数値であることが予想されるので一旦無視します。
次に、保証終身年金の現価を計算します。まず、確定部分ですが、
$$ 確定部分の年金現価 = \frac{1}{4}(v^{\frac{1}{4}} + v^{\frac{2}{4}} + ... + v^{\frac{80}{4}} ) $$
ここで、\( v^{\frac{1}{4}} = u (= 0.99144) \) とすると、
$$ 確定部分の年金現価 = \frac{1}{4}(u + u^2 + ... + u^{80} ) = \frac{u}{4} \frac{1-u^{80}}{1 - u} = 14.39942$$
終身部分の年金現価は、年m回払いの終身年金の近似式を用いると、
$$ 終身部分の年金現価 = v^{20} \, _{20} p_{60} a_{80} = v^{20} \, _{20} p_{60} ( \ddot{a}_{80} - \frac{5}{8} ) =\frac{D_{80}}{D_{60}} (\frac{N_{80}}{D_{80}} - \frac{5}{8}) =2.35844 $$
ここでも端数月の給付は小さいので無視しています。
保証終身年金の現価が現行の終身年金の現価の50％に等しいので、保証終身年金の年金額をxとすると、
$$ 15.18054 \times 0.5= x \times (14.39942 + 2.35844) $$
これを解くと、\( x = 0.45294 \) となります。模範解答の0.4542に近い値ですね。アクチュアリー試験は時間との闘い。マークシート方式なので、思い切って影響軽微な部分を無視して計算するというのも、一つの戦略です。
アクチュアリー試験の過去問はこちら